過去記事の改版です。

ISO 26262のPMHFの導出の場合、微小確率の積分を実行する際に次の(1078.1)及び(1078.2)式が出てくるため、あらかじめ結果を導出しておき、後程積分公式として使用します。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t) f_\text{IF}(t)dt\tag{1078.1} $$ 及び $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u) f_\text{IF}(t)dt,\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{1078.2} $$ まず、基本的に被積分関数は$t$に関する1次式とします。これは積分すると2次と次数が上がり、PMHFレベルでは2次までの近似で良いからです。従って、過去記事のようにまじめにexponentialで展開せずに、$\lambda_x t\ll 1$の条件下で、(1078.3)で近似してしまいます。

$$ F_x(t)=1-e^{-\lambda_x t}\approx\lambda_x t\\ f_x(t)=\lambda_x e^{-\lambda_x t}=\lambda_x R_x(t)\approx \lambda_x \tag{1078.3} $$

すると、(1078.1)は

$$ \require{cancel} \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_\text{SM}(t)f_\text{IF}(t)dt\approx\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}\lambda_\text{SM}t\cdot\lambda_\text{IF}dt\\ =\frac{1}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\frac{1}{2}T_\text{lifetime}^\bcancel{2} =\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime} \tag{1078.4} $$ 以上から(1078.1)の値が求められました。

結果のIFとSMに関する対称性から推測可能なように、(1078.1)においてIFとSMを入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_\text{IF}(t)f_\text{SM}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}\tag{1078.5} $$ 次に(1078.2)式はやや複雑になりますが、基本的には同様な計算を行います。まず、$u:=t\bmod\tau$であることから、$t=i\tau+u, i=0, 1, 2, ..., n-1, T_\text{lifetime}=n\tau$とおき、$t$を$i$と$u$で表せば、 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)f_\text{IF}(t)dt \approx\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{SM}u\cdot\lambda_\text{IF}dt\\ =\approx\frac{n}{T_\text{lifetime}}\int_0^{\tau}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}du =\approx\frac{\bcancel{n}}{\bcancel{T_\text{lifetime}}}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\frac{1}{2}\tau^\bcancel{2}=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\tau \tag{1078.6} $$

これも結果のIFとSMに関する対称性から推測可能なように、(1078.6)においてIFとSMを入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{IF}(t) f_\text{SM}(u)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\tau\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{1078.7} $$

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