確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義された確率過程 $\{\eta_t\}_{t\ge0}$ を考えます。 米国ロチェスター大学の資料(そのキャッシュ)によれば、 $\eta_t$ が状態空間 $\mathcal E=\{0,1,2,\ldots\}$ を値に取るとき、 任意の $t\ge0$, $s>0$, および任意の状態 $i,j\in\mathcal E$ に対して

$$\Pr\{\eta_{t+s}\in j\mid\eta_t\in i,\ \eta_u=x_u,\ u<t\} =\Pr\{\eta_{t+s}\in j\mid\eta_t\in i\}\tag{1057.1}$$

が成り立つ場合、${\eta_t}$ は連続時間マルコフ連鎖（CTMC）です。これは遷移する確率が、過去の時刻$u$での状態に依存せず、現在時刻$t$での状態にのみ依存することを表します。

斉時CTMCである$\eta_t$において、ステート$i$から$j$への微小時間$dt$における状態遷移確率 (Instantanous Transition Probability Function)$P_{ij}$は次式で与えられます。

$$ P_{ij}(t):=\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{j}\mid\eta_{t}\in\mathcal{i}\} =q_{ij}dt+o(dt)\tag{1057.2} $$ ここで$q_{ij}$はCTMC の生成行列の成分として定義される遷移率(Transition Rate)です。

次に、$\mathcal{M}$を稼働状態の集合、$\mathcal{P}$を不稼働状態の集合とします。稼働状態$\mathcal{M}$から不稼働状態$\mathcal{P}$への遷移をダウンと定義し、その微小時間$dt$における条件付き確率を考えると(1057.2)は次の形で表されます。

$$P_\mathcal{MP}(t) =\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid\eta_{t}\in\mathcal{M}\} =q_\mathcal{MP}dt+o(dt)\tag{1057.3}$$

ここで、ダウンに対応するVesely故障率$\lambda_v(t)$を次式で定義します。 ​ $$ \lambda_v(t):=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\}}{dt}\tag{1057.4} $$

CTMC を仮定する場合、式 (1057.3) より$\lambda_v(t)$は生成行列の成分$q_\mathcal{MP}$と一致します。

このVesely 故障率$\lambda_v(t)$を用いると、微小時間$dt$においてダウンする同時遷移確率は、

$$\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}\\ =\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid\eta_t\in\mathcal{M}\}\\ =\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}\lambda_v(t)dt+o(dt)\tag{1057.5}$$

で与えられます。

このとき、ダウンの無条件の瞬間遷移強度$h(t)$を $$ h(t):=\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}\,\lambda_v(t)\tag{1057.6} $$ と定義すれば、(1057.5)は、

$$ \Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}=h(t)\,dt +o(dt)\tag{1057.7} $$

のように書けます。

この記事の改訂版です。

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