Kパラメータの決定論的解釈と不稼働度の導出

SMに対応する確率過程を $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ とし、潜在状態集合を $\mathcal P_\text{SM}$ とします。SM故障発生時刻を $\sigma_\text{SM}$ とし、そのCDFを $$ F_\text{SM}(t):=\Pr\{\sigma_\text{SM}\le t\} \tag{1059.1} $$ と定義します。

Kパラメータは母集団分割割合として解釈し、SM母集団を検出不能集合 $\mathcal U_\text{SM}$（割合 $1-K_\text{SM,DPF}$）と検出可能集合 $\mathcal D_\text{SM}$（割合 $K_\text{SM,DPF}$）に分割します。

区間 $t\in[\tau_k,\tau_{k+1})$ に対し、区間内時刻を $$ u:=t-\tau_k \tag{1059.2} $$ と定義します。

検出不能集合に属する要素では、潜在状態事象 ${\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}}$ は ${\sigma_\text{SM}\le t}$ と一致するため $$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid \eta_0^\text{SM}\in\mathcal U_\text{SM}\}=F_\text{SM}(t) \tag{1059.3} $$ です。

検出可能集合に属する要素では各検査時刻でリセットされるため $$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid \eta_0^\text{SM}\in\mathcal D_\text{SM}\}=F_\text{SM}(u) \tag{1059.4} $$ となります。

全確率の定理より $$ Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1059.5} $$ を得ます。

区間内で微分可能なとき $$ q_\text{SM}(t):=\frac{d}{dt}Q_\text{SM}(t) \tag{1059.6} $$ と定義すると、区間内では $du/dt=1$ であるため $$ f_\text{SM}(t):=\frac{d}{dt}F_\text{SM}(t) \tag{1059.7} $$ とすれば、 $$ q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})f_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}f_\text{SM}(u) \tag{1059.8} $$ となります。

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