DPF項の積分完了とPMHFの合成（非冗長）

本節では、1063の区間表現に基づきDPF項の積分を完了し、最後にSPF項と合成してPMHFの最終式を得ます。

LAT2_D成分の積分（区間和）

1063の(1064.12)より $p_2^{(k)}(u)\approx \lambda_\text{SM,D}u$ ですから $$ \int_{\tau_k}^{\tau_{k+1}} p_2(t)\,dt = \int_{0}^{\tau} p_2^{(k)}(u)\,du \approx \int_{0}^{\tau} \lambda_{\text{SM,D}}\,u\,du = \frac{\lambda_{\text{SM,D}}\,\tau^2}{2} \tag{1064.1} $$

となります。区間和より $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}p_2(t)\,dt=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{\tau_k}^{\tau_{k+1}}p_2(t)\,dt \approx\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\lambda_\text{SM,D}\tau^2}{2}\\ =n\frac{\lambda_\text{SM,D}\tau^2}{2}=\frac{\lambda_\text{SM,D}T_\text{lifetime}\tau}{2} \tag{1064.2} $$ を得ます。

LAT2_U成分の積分

LAT2_U（状態1）は点検で回復しないため、希少事象一次近似として $$ p_1(t)=F_\text{SM,U}(t)=1-e^{-\lambda_\text{SM,U}t}\approx\lambda_\text{SM,U}t \tag{1064.3} $$ とおけます。したがって $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}p_1(t)\,dt\approx \int_0^{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{SM,U}t\,dt=\frac{\lambda_\text{SM,U}T_\text{lifetime}^2}{2} \tag{1064.4} $$ です。

(1064.2)、(1064.4)より $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}\bigl(p_1(t)+p_2(t)\bigr)\,dt\approx \frac{1}{2}\Bigl(\lambda_\text{SM,U}T_\text{lifetime}^2+\lambda_\text{SM,D}T_\text{lifetime}\tau\Bigr) \tag{1064.5} $$ となります。

DPF項のPMHF

1063の(1064.8)より $$ \mathrm{PoF_{DPF}}\approx \lambda_\text{IF,DPF}\int_0^{T_\text{lifetime}}\bigl(p_1(t)+p_2(t)\bigr)\,dt \tag{1064.6} $$ であるから、(1064.5)(1064.6)より $$ \mathrm{PoF_{DPF}}\approx \frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\Bigl(\lambda_\text{SM,U}T_\text{lifetime}^2+\lambda_\text{SM,D}T_\text{lifetime}\tau\Bigr) \tag{1064.7} $$ となります。規格定義より $$ \mathrm{PMHF_{DPF}}=\frac{\mathrm{PoF_{DPF}}}{T_\text{lifetime}}\approx \frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\Bigl(\lambda_\text{SM,U}T_\text{lifetime}+\lambda_\text{SM,D}\tau\Bigr) \tag{1064.8} $$ を得ます。

ここで $$ \left\{ \begin{aligned} \lambda_\text{IF,DPF}&=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\\ \quad \lambda_\text{SM,U}&=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM}\\ \quad \lambda_\text{SM,D}&=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM} \end{aligned} \right. \tag{1064.9} $$

より $$ \mathrm{PMHF_{DPF}}\approx \frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1064.10} $$ となります。

合成

(1063.6)を用いれば、 $$ \begin{aligned} \mathrm{PMHF}&=\mathrm{PMHF_{SPF}}+\mathrm{PMHF_{DPF}}\\ &\approx(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \end{aligned} \tag{1064.13} $$ を得ます。

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