論理式だけによるIFUのPMHF式導出 その2

前回は、IF故障が発生した瞬間のVSG判定式から、VSG事象をSPF/RF枝とDPF枝に分解しました。

$$ \{VSG\}=\{VSG_\text{SPF/RF}\}\sqcup\{VSG_\text{DPF}\} \tag{1081.1} $$

ここで、$\sqcup$は排反和を表します。すなわち、2つの枝は重複せず、その和としてVSG事象を構成します。

前回得られた2つの枝は、次のように表されます。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \{VSG_\text{SPF/RF}\}\equiv\{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\}\\ \{VSG_\text{DPF}\}\equiv\{\overline{IF}\cap DC_1\cap\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}\} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1081.2} $$

第1式は、IF故障がSM1のカバレッジ外にある枝です。第2式は、IF故障がSM1のカバレッジ内にあり、かつIF故障時点でSM1が故障している枝です。

ここで、$\overline{SM}_{\sigma_\text{IF}}$は、IF故障時点$\sigma_\text{IF}$においてSM1が故障状態であることを表します。連続時間では、IF故障とSM1故障が同時に発生する確率はほとんど確実に0です。したがって、IF故障時点でSM1が故障していることは、SM1故障がIF故障より前に発生していたことを意味します。

この時間順序を表すため、次の記号を導入します。

$$ A\prec_L B\Longleftrightarrow A\text{が先に発生し、その後、暴露時間}L\text{以内に}B\text{が発生する}\\ A\prec_L B\Longleftrightarrow \sigma_A<\sigma_B\le\sigma_A+L \tag{1081.3} $$

この記号により、DPF枝は次のように書き直せます。

$$ \{VSG_\text{DPF}\}\equiv\{\overline{SM}\prec_L(\overline{IF}\cap DC_1)\} \tag{1081.4} $$

(1081.4)は、SM1故障が先に発生し、その後、SM1によりVSG抑止されるはずだったIF故障が発生する枝です。この枝では、IF故障はSM1のカバレッジ内にありますが、SM1が先に故障しているため、IF故障時点でVSG抑止が成立しません。

次に、SM1故障の暴露時間を考えます。SM1故障がSM2により検出または修理されるかどうかにより、暴露時間は変わります。

SM2により検出されない場合、SM1故障は寿命$T$の間に潜在し得ます。一方、SM2により検出または修理される場合、SM1故障の暴露時間は点検間隔$\tau$に制限されます。

したがって、DPF枝は次の2つの排反事象に分解されます。

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \{VSG_\text{DPF}\}=\{VSG_\text{MPF,lat}\}\sqcup\{VSG_\text{MPF,det}\}\\ \{VSG_\text{MPF,lat}\}\equiv\{(\overline{SM}\cap\overline{DC_2})\prec_T(\overline{IF}\cap DC_1)\}\\ \{VSG_\text{MPF,det}\}\equiv\{(\overline{SM}\cap DC_2)\prec_\tau(\overline{IF}\cap DC_1)\} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1081.5} $$

第1枝は、SM1故障がSM2により検出されない枝です。この枝では、暴露時間は$T$です。第2枝は、SM1故障がSM2により検出または修理される枝です。この枝では、暴露時間は$\tau$です。

ここから、各枝の確率をレアイベント近似で求めます。故障率$\lambda_X$を持つエレメント$X$が時間$L$内に故障する確率を、次のように近似します。

$$ \Pr\{\overline{X}\text{ in }L\}\approx\lambda_XL \tag{1081.6} $$

また、独立な2つの故障$A$と$B$について、時間$L$内で両方が発生する場合、$A$が先で$B$が後となる順序は、全体の半分として扱えます。

$$ \Pr\{A\prec_LB\}\approx\frac{1}{2}\Pr\{A\text{ in }L\}\Pr\{B\text{ in }L\} \tag{1081.7} $$

まず、SPF/RF枝を求めます。この枝では、IF故障がSM1のカバレッジ外にあります。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG_\text{SPF/RF}\} &\equiv& \{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\}\\ PMHF_\text{SPF/RF}(T) &=&\frac{1}{T}\Pr\{VSG_\text{SPF/RF}\}\\ &=&\frac{1}{T}\Pr\{\overline{IF}\cap\overline{DC_1}\}\\ &\approx&\frac{1}{T}(1-DC_1)\lambda_\text{IF}T\\ &=&(1-DC_1)\lambda_\text{IF} \end{eqnarray} \tag{1081.8} $$

次に、MPF latent枝を求めます。この枝では、SM1故障がSM2により検出されず、暴露時間は$T$です。したがって、SM1故障が先に発生し、その後にIF故障が発生する順序付き二重故障として、次のようになります。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG_\text{MPF,lat}\} &\equiv& \{(\overline{SM}\cap\overline{DC_2})\prec_T(\overline{IF}\cap DC_1)\}\\ PMHF_\text{MPF,lat}(T) &=&\frac{1}{T}\Pr\{VSG_\text{MPF,lat}\}\\ &\approx&\frac{1}{T}\cdot\frac{1}{2}(1-DC_2)\lambda_\text{SM}T\cdot DC_1\lambda_\text{IF}T\\ &=&\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}(1-DC_2)T \end{eqnarray} \tag{1081.9} $$

次に、MPF detected枝を求めます。この枝では、SM1故障がSM2により検出または修理されるため、暴露時間は$\tau$です。

$$ \begin{eqnarray} \{VSG_\text{MPF,det}\} &\equiv& \{(\overline{SM}\cap DC_2)\prec_\tau(\overline{IF}\cap DC_1)\}\\ PMHF_\text{MPF,det}(T) &=&\frac{1}{T}\Pr\{VSG_\text{MPF,det}\}\\ &\approx&\frac{1}{T}\cdot\frac{1}{2}DC_2\lambda_\text{SM}T\cdot DC_1\lambda_\text{IF}\tau\\ &=&\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}DC_2\tau \end{eqnarray} \tag{1081.10} $$

以上より、IFUの場合のPMHFは、SPF/RF枝、MPF latent枝、MPF detected枝の和として得られます。

$$ \begin{eqnarray} PMHF_\text{IFU}(T) &\approx&PMHF_\text{SPF/RF}(T)+PMHF_\text{MPF,lat}(T)+PMHF_\text{MPF,det}(T)\\ &\approx&(1-DC_1)\lambda_\text{IF} +\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}(1-DC_2)T +\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}DC_2\tau\\ &=&(1-DC_1)\lambda_\text{IF} +\frac{1}{2}DC_1\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\{(1-DC_2)T+DC_2\tau\} \end{eqnarray} \tag{1081.11} $$

最後に、規格の記法に合わせて、$DC_1=K_{\text{SM1,RF}}$、$DC_2=K_{\text{SM2,DPF}}$と置きます。

$$ \begin{eqnarray} PMHF_\text{IFU}(T) &\approx& (1-K_{\text{SM1,RF}})\lambda_\text{IF}\\ &&+\frac{1}{2}K_{\text{SM1,RF}}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \{(1-K_{\text{SM2,DPF}})T+K_{\text{SM2,DPF}}\tau\} \end{eqnarray} \tag{1081.12} $$

これにより、IFUの場合のPMHF式が得られました。

この導出では、まずVSGをSPF/RF枝とDPF枝に分解し、次にDPF枝を暴露時間$T$の枝と$\tau$の枝に分解しました。その結果、$DC_1$はIF故障がSM1によりVSG抑止される範囲を表し、$DC_2$はSM1故障の暴露時間を$T$から$\tau$へ短縮する割合として現れます。

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