生成行列に基づくDPFおよびSPFの導出（非冗長）

非冗長系（LAT1およびDPF2を除外）について、区間内（修理なし）の生成行列を明示します。状態順序を $(0,1,2,3,4)$ とします。

• 0：OPR（IF up, SM up）
• 1：LAT2_U（SM潜在・点検で検出されず寿命末まで残る）
• 2：LAT2_D（SM潜在・点検で検出され周期で回復）
• 3：SPF（吸収）
• 4：DPF1（吸収）

遷移率は $$ \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\quad \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1062.1} $$ および $$ \lambda_\text{SM,U}=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM},\quad \lambda_\text{SM,D}=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM} \tag{1062.2} $$ とします。区間内生成行列 $Q$ は $$ Q=\left(\matrix{ -(\lambda_\text{SM,U}+\lambda_\text{SM,D}+\lambda_\text{IF,SPF}) & \lambda_\text{SM,U} & \lambda_\text{SM,D} & \lambda_\text{IF,SPF} & 0 \cr 0 & -\lambda_\text{IF} & 0 & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & -\lambda_\text{IF} & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr }\right) \tag{1062.3} $$ です。

到達確率を $$ F(t):=\Pr\{\eta_t\in\mathcal P\},\quad \mathcal P:=\{3,4\} \tag{1062.4} $$ と定義します。全確率の定理より到達密度は $$ f(t)=\sum_{s\in\mathcal M}p_s(t)\sum_{v\in\mathcal P}q_{sv},\quad \mathcal M:=\{0,1,2\} \tag{1062.5} $$ となります。

(1062.3)より各状態から吸収集合への流出率は $$ \sum_{v\in\mathcal P}q_{0v}=\lambda_\text{IF,SPF},\quad \sum_{v\in\mathcal P}q_{1v}=\lambda_\text{IF},\quad \sum_{v\in\mathcal P}q_{2v}=\lambda_\text{IF} \tag{1062.6} $$ であるため、 $$ f(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\,p_0(t)+\lambda_\text{IF}\bigl(p_1(t)+p_2(t)\bigr) \tag{1062.7} $$ と成分展開されます。

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