【1063】

DPF項の導出（Q(t)統一式による）

1062より、DPFの到達密度は $$ f_\text{DPF}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\,Q_\text{SM}(t) \tag{1063.1} $$ です。

ここで $Q_\text{SM}(t)$ は、SMがレイテント状態にある確率です。PIR周期一定の下で、2020論文の結果より $$ Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1063.2} $$ と書けます。ここで

• $F_\text{SM}(t)=\Pr\{\sigma_\text{SM}\le t\}$ はSM故障発生のCDF
• $u=t-\tau_k$ は区間内時刻
• $K_\text{SM,DPF}$ は点検検出カバレッジ

です。

したがって寿命 $T_\text{lifetime}$ におけるDPF到達確率は $$ \mathrm{PoF_{DPF}} =\lambda_\text{IF,DPF} \int_0^{T_\text{lifetime}} Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1063.3} $$ となります。

(1063.2)を(1063.3)に代入すると $$ \mathrm{PoF_{DPF}} =\lambda_\text{IF,DPF} \left[ (1-K_\text{SM,DPF})\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt + K_\text{SM,DPF}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)\,dt \right] \tag{1063.4} $$

第1項の評価（寿命末まで残る成分）

小確率近似の下で $$ F_\text{SM}(t)\approx \lambda_\text{SM}t \tag{1063.5} $$ ですから $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt \approx \int_0^{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{SM}t\,dt =\frac{\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}^2}{2} \tag{1063.6} $$

第2項の評価（周期で回復する成分）

区間分割により $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_0^{\tau}F_\text{SM}(u)\,du \tag{1063.7} $$ です。小確率近似より $$ F_\text{SM}(u)\approx \lambda_\text{SM}u \tag{1063.8} $$ であるから $$ \int_0^{\tau}F_\text{SM}(u)\,du \approx \int_0^{\tau}\lambda_\text{SM}u\,du =\frac{\lambda_\text{SM}\tau^2}{2} \tag{1063.9} $$ となります。

したがって $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)\,dt =\frac{\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}\tau}{2} \tag{1063.10} $$

合成

(1063.4)(1063.6)(1063.10)より $$ \mathrm{PoF_{DPF}} =\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM} \Bigl( (1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}^2 + K_\text{SM,DPF}T_\text{lifetime}\tau \Bigr) \tag{1063.11} $$

規格定義より $$ \mathrm{PMHF_{DPF}}=\frac{\mathrm{PoF_{DPF}}}{T_\text{lifetime}} \tag{1063.12} $$ であるから $$ \mathrm{PMHF_{DPF}} =\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM} \Bigl( (1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime} + K_\text{SM,DPF}\tau \Bigr) \tag{1063.13} $$

さらに $$ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1063.14} $$ を代入すれば $$ \mathrm{PMHF_{DPF}} =\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \Bigl( (1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime} + K_\text{SM,DPF}\tau \Bigr) \tag{1063.15} $$ を得ます。

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